質問
現在、請負契約書者には、代表者の記名押印をし、印鑑は各店舗の丸印を押しています。代表印でなくても問題はないでしょうか。

回答
法律的に言えば、代表取締役社長が契約の締結を承諾している以上、判は会社の代表印でなくても構いません。会社の代表印は、契約のときに簡単に持ち出せないと思うので、それでも仕方がないと思います。
ただ、あまりに通常の代表印と違う形の判だと不審に思う人がいるかもしれないので、(上記のとおり、法律的には問題ないのですが)代表印に似た形の判を作って使うということも考えられると思います。